[확률의이해] 1장 확률의 기본 개념 - 1.2 확률의 개념

- 확률(probability) : 어떤 사건이 일어날 가능성을 0과 1 사이의 실수로 표시한 것 - 상대도수적 확률 : P(A)=\( \frac{사건 A가 발생한 횟수}{전체 시행 횟수} \) - 기하학적 확률    : P(A)=\( \frac{A 면적,길이}{전체 면적,길이} \) - 주관적 확률 : 어떤 사람이 경험 속에서 체감하는 확률

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[ 확률의 개념 ]

 1654년 도박사 슈발리에가 도박에서 발생하는 상금 배분과 승률 문제에 의문을 가지고 당대 최고의 수학자 파스칼에서 질문, 파스칼은 페르마와 함께 이 문제를 풀면서 확률 이론을 형성.
( 문제 1 )
도박을 중단 했을때의 판돈 배분
승률이 0.5인 도박에서 3판 먼저 이기는 사람이 승리.
총 판돈 64파스칼 (A:32파스칼 ,B:32파스칼)
A가 2판, B가 1판 승리한 상황

(문제1의 가정)
A가 \( \frac{2}{3}\) 인 42.7파스칼, B가  \( \frac{1}{3}\)인 21.3파스칼로 나누면 된다.
(문제1에 대한 파스칼과 페르마의 생각)
B가 판돈을 모두 얻기 위해서는 2번 연속 이겨야. 이 확률은 \( \frac{1}{2}\)x\( \frac{1}{2}\)=\( \frac{1}{4}\)
A가 이기는 확률은 그 여사상인 1-\( \frac{1}{4}\) =\( \frac{3}{4}\)
그러므로,
A : 64파스칼 x \( \frac{3}{4}\) = 48파스칼
B : 64파스칼 x \( \frac{1}{4}\) = 16파스칼
-> 이 개념은 오늘날 기댓값에 해당하는 개념.

( 문제 2 )
 슈발리에는 확률적으로 같다고 생각한 2종류의 주사위 도박중 첫번째는 이익을 봤으나 두번째 도박에서는 손실을 입었다.
 (1) 1개의 주사위를 4번 던져서 6이 적어도 1번 나오면 도박사 승
 (2) 2개의 주사위를 24번 던져서 2개가 동시에 6이 나오는 경우가 적어도 1번 있으면 도박사 승
(문제2에 대한 슈발리에의 가정)
(1) 6의 눈이 나올 확률 x 주사위를 던진 획수  =  \( \frac{1}{6}\) x 4 = \( \frac{2}{3}\)
(2) (6, 6)의 눈이 나올 확률 x 주사위를 던진 횟수 = \( \frac{1}{36}\) x 24 = \( \frac{2}{3}\)
(문제2에 대한 파스칼과 페르마의 생각)
(1) 4회 시행에서 6의 눈이 1번도 나오지 않을 확률 = \(\left ( \frac{5}{6} \right )^{4}\)
     첫번째 도박에서 이길 확률 = 4회 시행에서 6의 눈이 1번도 나오지 않을 확률의 여사상
\[=1-\left ( \frac{5}{6} \right )^{4}\doteq 0.518\]
(2) 24회 시행에서 (6, 6)의 눈이 1번도 나오지 않을 확률 = \( \left( \frac{35}{36}\right)^{24} \)
       여집합을 이용해서 구하
\[=1-\left ( \frac{35}{36} \right )^{24}\doteq 0.491\]
 
->  \( \left( \frac{1}{6}\right)^{4} \)를 한다면 4번 던져서 모두 6이 나올 확률을 구하는 것이된다.
적어도 1번 6이 나올 확률을 구할려면, 여사상을 이용해서 푼다.
6이 나오지 않을 확률 \( \frac{5}{6} 를 4번 반복하는 횟수를 구하고 1에서 뺀다.\)
\[1-\left ( \frac{5}{6} \right )^{4}\doteq 0.518\]

 

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객관적확률(빈도론적 확률)

 도박에서 수많은 같은 시행이 일어나면 같은 사건이 일정 비율로 반복되게 된다. 그리고 이것을 확률 적으로 계산가능하며, 컴퓨터로 계산한 값은 아래와 같다. 시행 횟수가 많아질 수록 1~6사이의 출연 확률을 비슷해 진다.

 확률(probability)이란 어떤 사건이 일어날 가능성을 0과 1사이의 실수로 표현한 것이며, 1에 가까울 수록 가능성이 높은 것이다.

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Chapter 1 Basic Concepts of Probability - 1.2 Concepts of Probability

- Probability: The likelihood of an event occurring, expressed as a real number between 0 and 1. - Relative probability: P(A)=\( \frac{number of times event A occurs}{total number of trials} \) - Geometric probability: P(A)=\( \frac{A area,length}{total area,length} \) - Subjective probability: the probability that a person perceives in an experience.

[ concept of probability ]

1654, Chevalier, a gambler, questioned by Pascal, the greatest mathematician of his time, about the distribution of winnings and odds in gambling; Pascal, along with Fermat, solved the problem and formed the theory of probability.
( Problem 1 )
Distribution of Stakes When Gambling Stops
In a game with odds of 0.5, the first person to win 3 hands wins.
Total stake 64 Pascal (A:32 Pascal ,B:32 Pascal)
A wins 2 games and B wins 1 game
 
(Assumptions from Problem 1)
Divide by 42.7 pascals for A, which is \( \frac{2}{3}\), and 21.3 pascals for B, which is \( \frac{1}{3}\).
(Pascal and Fermat's idea for Problem 1)
B needs to win 2 times in a row to win all of the stake, which is \( \frac{1}{2}\)x\( \frac{1}{2}\)=\( \frac{1}{4}\)
The probability that A wins is its inverse, 1-\( \frac{1}{4}\) =\( \frac{3}{4}\)
Therefore,
A : 64 pascals x \( \frac{3}{4}\) = 48 pascals
B : 64 pascals x \( \frac{1}{4}\) = 16 pascals
-> This concept corresponds to today's expectation value.
 
( Problem 2 )
Chevalier made a profit on the first of two dice gambles that he thought were probabilistically equal, but lost on the second.
(1) A gambler wins if he rolls a single die four times and gets at least one 6.
(2) the gambler wins if he rolls 2 dice 24 times and at least 1 time both dice roll 6 at the same time.
(Chevalier's Assumptions for Problem 2)
(1) Probability of 6 eyes x number of dice thrown = \( \frac{1}{6}\) x 4 = \( \frac{2}{3}\)
(2) Probability of (6, 6) snow x number of tosses = \( \frac{1}{36}\) x 24 = \( \frac{2}{3}\)
(Pascal and Fermat's thoughts on Problem 2)
(1) Probability of never getting an eye of 6 in 4 trials = \(\left ( \frac{5}{6} \right )^{4}\)
Probability of winning the first gamble = Idealized probability of never seeing a 6 in 4 trials
\[=1-\left ( \frac{5}{6} \right )^{4}\doteq 0.518\]
(2) Probability that the eye of (6, 6) will not appear even once in 24 trials = \( \left( \frac{35}{36}\right)^{24} \)
Solve using the union
\[=1-\left ( \frac{35}{36} \right )^{24}\doteq 0.491\]
-> \( \left( \frac{1}{6}\right)^{4} \), you are finding the probability of getting a 6 in all four tosses.
To find the probability of getting at least one 6, use the priestess statue to solve.
Find the number of times \( \frac{5}{6} \) is repeated four times and subtract it from 1.
\[1-\left ( \frac{5}{6} \right )^{4}\doteq 0.518\]
 
Objective probability (frequentist probability)
In gambling, if many identical trials occur, the same event will repeat at a certain rate. This can be calculated probabilistically, and the computerized value is shown below. As the number of trials increases, the probability of appearing between 1 and 6 becomes more similar.

Probability is the likelihood of an event happening, expressed as a real number between 0 and 1. The closer to 1, the more likely it is.